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Die `!Poisson-Approximation`! ist in der `F33f`_`[Wahrscheinlichkeitsrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wahrscheinlichkeitsrechnung]`_`f eine Möglichkeit, die `F33f`_`[Binomialverteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Binomialverteilung]`_`f und die `F33f`_`[verallgemeinerte Binomialverteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verallgemeinerte_Binomialverteilung]`_`f für große Stichproben und kleine Wahrscheinlichkeiten durch die `F33f`_`[Poisson-Verteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Poisson-Verteilung]`_`f anzunähern. Durch den Grenzübergang nach unendlich erhält man dann die `F33f`_`[Konvergenz in Verteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Konvergenz_in_Verteilung]`_`f der beiden Binomialverteilungen gegen die Poisson-Verteilung.

>>Contents

• `F0af`_`[Formulierung`#formulierung]`_`f

• `F0af`_`[Beweis-Skizze`#beweis-skizze]`_`f

• `F0af`_`[Güte der Approximation`#g-te-der-approximation]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel`#beispiel]`_`f

• `F0af`_`[Exakte Lösung`#exakte-l-sung]`_`f

• `F0af`_`[Approximierte Lösung`#approximierte-l-sung]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Formulierung

Ist ( S n ) {\\displaystyle (S_{n})} eine Folge binomialverteilter `F33f`_`[Zufallsvariablen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zufallsvariable]`_`f mit Parametern n ∈ ∈ N {\\displaystyle n\\in \\mathbb {N} } und p n {\\displaystyle p_{n}} , sodass für die `F33f`_`[Erwartungswerte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erwartungswert]`_`f E ( S n ) = n ⋅ ⋅ p n → → λ λ > 0 {\\displaystyle E(S_{n})=n\\cdot p_{n}\\to \\lambda >0} für n → → ∞ ∞ {\\displaystyle n\\to \\infty } gilt, dann folgt

P ( S n = k ) = B n , p n ( { k } ) → → λ λ k k ! e − − λ λ = P λ λ ( { k } ) {\\displaystyle P(S_{n}=k)=B_{n,p_{n}}(\\{k\\})\\to \\,{\\frac {\\lambda ^{k}}{k!}}\\mathrm {e} ^{-\\lambda }=P_{\\lambda }(\\{k\\})\\quad }

für n → → ∞ ∞ {\\displaystyle n\\to \\infty } .

>>>Beweis-Skizze

Der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle k {\\displaystyle k} ist der Grenzwert n → → ∞ ∞ {\\displaystyle n\\to \\infty } einer Binomialverteilung mit p = λ λ n {\\displaystyle p={\\tfrac {\\lambda }{n}}} an der Stelle k {\\displaystyle k} :

lim n → → ∞ ∞ P ( S n = k ) = lim n → → ∞ ∞ ( n k ) p k ( 1 − − p ) n − − k = lim n → → ∞ ∞ n ! k ! ( n − − k ) ! ( λ λ n ) k ( 1 − − λ λ n ) n − − k = lim n → → ∞ ∞ ( λ λ k k ! ) ( n ( n − − 1 ) ( n − − 2 ) ⋯ ⋯ ( n − − k + 1 ) n k ) ( 1 − − λ λ n ) n ( 1 − − λ λ n ) − − k = λ λ k k ! ⋅ ⋅ lim n → → ∞ ∞ ( n n ⋅ ⋅ n − − 1 n ⋅ ⋅ n − − 2 n ⋯ ⋯ n − − k + 1 n ) ⏟ ⏟ → → 1 ( 1 − − λ λ n ) n ⏟ ⏟ → → e − − λ λ ( 1 − − λ λ n ) − − k ⏟ ⏟ → → 1 = λ λ k e − − λ λ k ! . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\lim _{n\\to \\infty }P(S_{n}=k)&=\\lim _{n\\to \\infty }{\\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\\\&=\\lim _{n\\to \\infty }{\\frac {n!}{k!\\,(n-k)!}}\\left({\\frac {\\lambda }{n}}\\right)^{k}\\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)^{n-k}\\\\&=\\lim _{n\\to \\infty }\\left({\\frac {\\lambda ^{k}}{k!}}\\right)\\left({\\frac {n(n-1)(n-2)\\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}\\right)\\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)^{n}\\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)^{-k}\\\\&={\\frac {\\lambda ^{k}}{k!}}\\cdot \\lim _{n\\to \\infty }\\underbrace {\\left({\\frac {n}{n}}\\cdot {\\frac {n-1}{n}}\\cdot {\\frac {n-2}{n}}\\cdots {\\frac {n-k+1}{n}}\\right)} _{\\to 1}\\underbrace {\\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)^{n}} _{\\to e^{-\\lambda }}\\underbrace {\\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)^{-k}} _{\\to 1}\\\\&={\\frac {\\lambda ^{k}\\mathrm {e} ^{-\\lambda }}{k!}}.\\end{aligned}}}

Bei großen Stichproben und kleinem p {\\displaystyle p} lässt sich folglich die Binomialverteilung gut durch die Poisson-Verteilung approximieren.

Die Darstellung als Grenzwert der Binomialverteilung erlaubt eine alternative Berechnung von Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung. Seien X 1 , … … , X n n {\\displaystyle X_{1},\\dotsc ,X_{n}\\,n} unabhängige `F33f`_`[bernoulliverteilte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bernoulli-Verteilung]`_`f Zufallsvariablen mit p = λ λ / n {\\displaystyle \\,p=\\lambda /n} und sei S n := X 1 + ⋯ ⋯ + X n {\\displaystyle S_{n}:=X_{1}+\\dotsb +X_{n}} . Für n → → ∞ ∞ {\\displaystyle n\\to \\infty } `F33f`_`[gilt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bernoulli-Verteilung]`_`f S n ∼ ∼ P λ λ {\\displaystyle S_{n}\\sim P_{\\lambda }} und

E ⁡ ⁡ ( S n ) = E ⁡ ⁡ ( X 1 ) + ⋯ ⋯ + E ⁡ ⁡ ( X n ) = λ λ n + ⋯ ⋯ + λ λ n ⏟ ⏟ n m a l = λ λ → → λ λ Var ⁡ ⁡ ( S n ) = Var ⁡ ⁡ ( X 1 ) + ⋯ ⋯ + Var ⁡ ⁡ ( X n ) = λ λ n ( 1 − − λ λ n ) + ⋯ ⋯ + λ λ n ( 1 − − λ λ n ) ⏟ ⏟ n m a l = λ λ ( 1 − − λ λ n ) → → λ λ . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\operatorname {E} (S_{n})&=\\operatorname {E} (X_{1})+\\dotsb +\\operatorname {E} (X_{n})=\\underbrace {{\\frac {\\lambda }{n}}+\\dotsb +{\\frac {\\lambda }{n}}} _{n\\,\\mathrm {mal} }=\\lambda \\to \\lambda \\\\\\operatorname {Var} (S_{n})&=\\operatorname {Var} (X_{1})+\\dotsb +\\operatorname {Var} (X_{n})\\\\&=\\underbrace {{\\frac {\\lambda }{n}}\\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)+\\dotsb +{\\frac {\\lambda }{n}}\\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)} _{n\\,\\mathrm {mal} }=\\lambda \\left(1-{\\frac {\\lambda }{n}}\\right)\\to \\lambda .\\end{aligned}}}

>>>Güte der Approximation

Für die Fehlerabschätzung gilt

∑ ∑ k ≥ ≥ 0 | B n , p ( { k } ) − − P n ⋅ ⋅ p ( { k } ) | ≤ ≤ 2 n p 2 {\\displaystyle \\sum _{k\\geq 0}\\left|B_{n,p}(\\{k\\})-P_{n\\cdot p}(\\{k\\})\\right|\\leq 2np^{2}} .

Die Approximation einer Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen (bzw. einer binomialverteilten Zufallsvariable) ist also insbesondere für kleine p {\\displaystyle p} gut. Als `F33f`_`[Faustregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Faustregel]`_`f gilt, dass die Approximation gut ist, wenn n ≥ ≥ 50 {\\displaystyle n\\geq 50} und p ≤ ≤ 0 , 05 {\\displaystyle p\\leq 0{,}05} gilt. Ist p ≈ ≈ 0 , 5 {\\displaystyle p\\approx 0{,}5} , so ist die `F33f`_`[Normal-Approximation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normal-Approximation]`_`f besser geeignet.

>>>>Le Cams Verallgemeinerung

Allgemeiner lässt sich Folgendes zeigen: Seien X 1 , … … , X n {\\displaystyle X_{1},\\dotsc ,X_{n}} `F33f`_`[stochastisch unabhängige`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stochastisch_unabhängige_Zufallsvariablen]`_`f `F33f`_`[Zufallsvariablen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zufallsvariable]`_`f mit P ( X i = 1 ) = p i = 1 − − P ( X i = 0 ) {\\displaystyle P(X_{i}=1)=p_{i}=1-P(X_{i}=0)} (jede Zufallsvariable ist also `F33f`_`[Bernoulli-verteilt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bernoulli-Verteilung]`_`f), dann ist

S := ∑ ∑ i = 1 n X i {\\displaystyle S:=\\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

`F33f`_`[verallgemeinert binomialverteilt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verallgemeinerte_Binomialverteilung]`_`f. Definiere

λ λ := ∑ ∑ i = 1 n p i {\\displaystyle \\lambda :=\\sum _{i=1}^{n}p_{i}} ,

dann gilt

∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ | P ( S = k ) − − exp ⁡ ⁡ ( − − λ λ ) λ λ k k ! | ≤ ≤ 2 ∑ ∑ i = 1 n p i 2 {\\displaystyle \\sum _{k=0}^{\\infty }\\left|P(S=k)-\\exp(-\\lambda ){\\frac {\\lambda ^{k}}{k!}}\\right|\\leq 2\\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}} .

Im Englischen ist dieses Resultat als „Ungleichung von `F33f`_`[Le Cam`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lucien_Le_Cam]`_`f“ (`*Le Cam’s Inequality)`* bekannt.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

Gilt p i = p j {\\displaystyle p_{i}=p_{j}} für alle 1 ≤ ≤ i , j ≤ ≤ n {\\displaystyle 1\\leq i,j\\leq n} , so ist S {\\displaystyle S} binomialverteilt und das obige Ergebnis folgt sofort.

>>Beispiel

Ein Individuum einer Spezies zeugt n = 1000 {\\displaystyle n=1000} Nachkommen, die alle stochastisch unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von p i = 0,001 {\\displaystyle p_{i}=0{,}001} das geschlechtsreife Alter erreichen. Interessiert ist man nun an der Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Nachkommen das geschlechtsreife Alter erreichen.

>>>Exakte Lösung

Sei X i = 1 {\\displaystyle X_{i}=1} die Zufallsvariable „Der i {\\displaystyle i} -te Nachkomme erreicht das geschlechtsreife Alter“. Es gilt P ( X i = 1 ) = p i {\\displaystyle P(X_{i}=1)=p_{i}} und P ( X i = 0 ) = 1 − − p i {\\displaystyle P(X_{i}=0)=1-p_{i}} für alle i {\\displaystyle i} . Dann ist die Anzahl der überlebenden Nachkommen S := ∑ ∑ i = 1 n X i {\\displaystyle S:=\\sum _{i=1}^{n}X_{i}} aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit B n , p {\\displaystyle B_{n,p}} -verteilt. Zur Modellierung definiert man den `F33f`_`[Wahrscheinlichkeitsraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wahrscheinlichkeitsraum]`_`f ( Ω Ω , Σ Σ , P ) {\\displaystyle (\\Omega ,\\Sigma ,P)} mit der `F33f`_`[Ergebnismenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ergebnismenge]`_`f Ω Ω := { 0 , … … , n } {\\displaystyle \\Omega :=\\{0,\\dotsc ,n\\}} , der Anzahl der überlebenden geschlechtsreifen Nachkommen. Die `F33f`_`[σ-Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Σ-Algebra]`_`f ist dann kanonisch die `F33f`_`[Potenzmenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Potenzmenge]`_`f der Ergebnismenge: Σ Σ := P ( Ω Ω ) {\\displaystyle \\Sigma :={\\mathcal {P}}(\\Omega )} und als Wahrscheinlichkeitsverteilung die `F33f`_`[Binomialverteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Binomialverteilung]`_`f: P ( { k } ) := B n , p ( { k } ) {\\displaystyle P(\\{k\\}):=B_{n,p}(\\{k\\})} . Gesucht ist P ( S ≥ ≥ 2 ) = 1 − − P ( S = 1 ) − − P ( S = 0 ) = 1 − − B 1000 ; 0,001 ( { 0 } ) − − B 1000 ; 0,001 ( { 1 } ) ≈ ≈ 0,264 2 {\\displaystyle P(S\\geq 2)=1-P(S=1)-P(S=0)=1-B_{1000;\\,0{,}001}(\\{0\\})-B_{1000;\\,0{,}001}(\\{1\\})\\approx 0{,}2642} . Es erreichen also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 26 % mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter.

>>>Approximierte Lösung

Da n {\\displaystyle n} ausreichend groß und p {\\displaystyle p} ausreichend klein ist, lässt sich die Binomialverteilung genügend genau mittels der Poisson-Verteilung annähern. Diesmal ist der Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω Ω , Σ Σ , P ) {\\displaystyle (\\Omega ,\\Sigma ,P)} definiert mittels des Ergebnisraums Ω Ω := N {\\displaystyle \\Omega :=\\mathbb {N} } , der σ σ {\\displaystyle \\sigma } -Algebra Σ Σ := P ( N ) {\\displaystyle \\Sigma :={\\mathcal {P}}(\\mathbb {N} )} und der Poisson-Verteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung P ( { k } ) := P λ λ ( { k } ) = λ λ k k ! e − − λ λ {\\displaystyle P(\\{k\\}):=P_{\\lambda }(\\{k\\})={\\frac {\\lambda ^{k}}{k!}}\\,\\mathrm {e} ^{-\\lambda }} mit dem Parameter λ λ = n ⋅ ⋅ p = 1 {\\displaystyle \\lambda =n\\cdot p=1} . Man beachte hier, dass die beiden modellierten Wahrscheinlichkeitsräume unterschiedlich sind, da die Poisson-Verteilung auf einem endlichen Ergebnisraum keine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter erreichen, ist also P ( S ≥ ≥ 2 ) ≈ ≈ 1 − − P λ λ ( { 1 } ) − − P λ λ ( { 0 } ) = 1 − − λ λ 1 1 ! e − − 1 − − λ λ 0 0 ! e − − 1 ≈ ≈ 0,264 2 {\\displaystyle P(S\\geq 2)\\approx 1-P_{\\lambda }(\\{1\\})-P_{\\lambda }(\\{0\\})=1-{\\frac {\\lambda ^{1}}{1!}}e^{-1}-{\\frac {\\lambda ^{0}}{0!}}e^{-1}\\approx 0{,}2642} .

Bis auf vier Nachkommastellen stimmt also die exakte Lösung mit der Poisson-Approximation überein.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Zwei-Drittel-Gesetz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zwei-Drittel-Gesetz]`_`f (auch `*Gesetz der kleinen Zahlen`* genannt)

>>Weblinks

• A.V. Prokhorov: Poisson theorem. In: `F33f`_`[Michiel Hazewinkel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Michiel_Hazewinkel]`_`f (Hrsg.): `F33f`_`[Encyclopedia of Mathematics`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Encyclopedia_of_Mathematics]`_`f. Springer-Verlag und `F33f`_`[EMS`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=European_Mathematical_Society]`_`f Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• `F33f`_`[Eric W. Weisstein`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eric_Weisstein]`_`f: `*Poisson theorem`*. In: `*`F33f`_`[MathWorld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=MathWorld]`_`f`* (englisch).

>>Literatur

• `F33f`_`[Achim Klenke`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Achim_Klenke]`_`f: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1007/978-3-642-36018-3.

• `F33f`_`[Ulrich Krengel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ulrich_Krengel]`_`f: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1007/978-3-663-09885-0.

• `F33f`_`[Hans-Otto Georgii`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hans-Otto_Georgii]`_`f: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1515/9783110215274.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Eric W. Weisstein: `*Le Cam's Inequality.`* In: `*Mathworld.`* Abgerufen am 18. November 2023.

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a